スペクトル分解の応用例の一つに、基底変換があるのでやってみようと思います。
目次
双曲線の場合
今回は以下の双曲線の方程式について考えます。
$2x^2+2y^2-2xy=1$
ここで、
$\alpha = 2,\:\:\beta = 2,\:\: \gamma = -1$
より、
$A = \begin {pmatrix}2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}$
$(x,y)\begin {pmatrix}2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}(x,y)^\mathrm{T}=1$
$det(A)=0$の時、
$\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2$
$ \lambda_1 \lambda_2 < 0$より、
上記の方程式はhyperbolaであることがわかりました。
ここで、それぞれの固有値に対する固有ベクトルは
$v_1 = (2,1)^\mathrm{T} ,v_2 = (-\frac{1}{2},1)^\mathrm{T} $
であり、正規化すると
$q_1 = (\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})^\mathrm{T} ,q_2 = (-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}})^\mathrm{T} $
を得ます。
よって、
$Q=(q_1,q_2)^\mathrm{T}$
$\Lambda=\begin {pmatrix}\lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{pmatrix}$
の時、Aのスペクトル分解は
$A = Q\Lambda Q^\mathrm{T}$
よって、
$(x,y)Q\Lambda Q^\mathrm{T}(x,y)^\mathrm{T}=1$
上記の式から、
$(q_1x_1,q_2x_2)\Lambda(q_1x_1,q_2x_2)^\mathrm{T}=1$
となり、
$2x^2+2y^2-2xy= 3x_1^2 + 2x_2^2=1$
を得ます。
これは結局、$(q_1x_1,q_2x_2)\mathrm{T}$を使用して、最初の方程式の基底を変換していることになります。
基底変換後の焦点(Forci)と頂点(Vertices)
$a = \frac{1}{\sqrt{3}},\:\:b = \frac{1}{\sqrt{2}}$
とすると、
$3x_1^2 + 2x_2^2=\frac{x_1^2}{a^2} +\frac{x_2^2}{b^2}=1$
この時、
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{5}{6}}$より、
$(\pm c,0)=(\pm \sqrt{\frac{5}{6}},0)$
また、verticesは
$(\pm a,0)=(\pm \frac{1}{\sqrt{3}},0)$
これらの座標は基底変換後の座標であるため、
$(x,y)=q_1x_1+q_2x_2$を利用して、元の座標に戻すことができる。
よって、
Forciの元の座標は、
$(x,y)=q_1x_1=\pm( \frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})$
verticesの元の座標は、
$(x,y)=q_1x_1=\pm( \frac{2}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{15}})$
楕円の場合
$3x^2+6y^2+4xy=1$
$\alpha = 3,\:\:\beta = 6,\:\: \gamma = 4$
固有値と固有ベクトルはそれぞれ、
$\lambda_1 = 7, \lambda_2 = 2$
$v_1=(\frac{1}{2},1)^\mathrm{T},v_2=(-2,1)^\mathrm{T}$
正規化すると、
$q_1=\frac{2}{\sqrt{5}}(\frac{1}{2},1)^\mathrm{T},q_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1)^\mathrm{T}$
$Q=(q_1,q_2)^\mathrm{T}$
$\Lambda=\begin {pmatrix}\lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{pmatrix}$
の時、Aのスペクトル分解は
$A = Q\Lambda Q^\mathrm{T}$
よって、
$(x,y)Q\Lambda Q^\mathrm{T}(x,y)^\mathrm{T}=1$
上記の式から、
$(q_1x_1,q_2x_2)\Lambda(q_1x_1,q_2x_2)^\mathrm{T}=1$
となり、
$3x^2+6y^2+4xy= 7x_1^2 + 2x_2^2=1$
を得ます。
基底変換後の焦点(Forci)と頂点(Vertices)
双曲線の場合と同様に基底変換後の各種値を求めます。
$a = \frac{1}{\sqrt{7}},\:\:b = \frac{1}{\sqrt{2}}$
とすると、
$7x_1^2 + 2x_2^2=\frac{x_1^2}{a^2} +\frac{x_2^2}{b^2}=1$
Forciの座標は、
$(0,\pm c)$
$a>b$の時
$c = \sqrt{a^2-b^2}$
$a<b$の時
$c = \sqrt{b^2-a^2}$
verticesは
$(\pm a,0),\:\: (0,\pm b)$
双曲線の場合と同様に元の座標に戻すと、
Forciについて
$(x,y) = q_2x_2=\pm \frac{1}{\sqrt{14}}(-2,1)^\mathrm{T} $
Verticesについて、
$(x,y) =\pm (\frac{1}{\sqrt{35}},\frac{2}{\sqrt{35}})$
$(x,y)=\pm (-\frac{2}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}})$
