以下のような実対称行列$A\:\: (\mathbb{R}^3)$のスペクトル分解について考えます。
$\begin {pmatrix}3&-1&-1\\-1&2&0\\-1&0&2\end{pmatrix}$
このとき、固有値は$\lambda = 0, 1, 3$
$\lambda = 1$について、
カーネルは $(-1,0,1)^\mathrm{T}$
$\lambda = 0$について、
カーネルは $(1,-1,1)^\mathrm{T}$
$\lambda = 3$について、
カーネルは $(1,2,1)^\mathrm{T}$
目次
正規直交行列の作成
$\bar{v_1} = (-1,0,1)^\mathrm{T} $
$\bar{v_2} = (1,-1,1)^\mathrm{T} $
$\bar{v_3} = (1,2,1)^\mathrm{T} $
$\mathbb{R}^3$において、3つの正規直交基底があるので、
$\bar{q_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1,0,1)^\mathrm{T} $
$\bar{q_2} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,-1,1)^\mathrm{T} $
$\bar{q_3} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1,2,1)^\mathrm{T} $
よって正規直交行列は
$Q = (\bar{q_1}, \bar{q_2}, \bar{q_3})^\mathrm{T}$
スペクトル分解
固有値から、
$\Lambda = \begin {pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}$
このとき、
$\Lambda =Q^\mathrm{T}AQ$
よって、スペクトル分解は
$A=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$
$B^2=A$を求める
スペクトル分解を使用して$B^2=A$を求めることができます。
$A$のスペクトル分解は
$A=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$
ここで、実対称行列の性質から
$Q^\mathrm{T}Q = I_n$
を使用すると、
$A = Q\sqrt{\Lambda}Q^\mathrm{T}Q\sqrt{\Lambda}Q^\mathrm{T}$
よって、
$B=Q\sqrt{\Lambda}Q^\mathrm{T}$
