非正則行列に対するleft-inverse

正則でないm x n行列に対して、その逆行列を求める方法を見つけたのでまとめておきます。

正則行列の逆行列について

以下の正則行列について、

$W=\begin{pmatrix} w_{11}  & \dots  & w_{1n} \\ \vdots  & \ddots & \vdots \\ w_{m1}  & \dots & w_{mn}\end{pmatrix}$

$W^\mathrm{T}W=I_{mn}(m=n)$

が成り立ちます。

非正則行列について

次に以下の非正則行列について、以下のようにn次正方行列に変形することで逆行列を取得できるようになります。

$W=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots  & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots  & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots  & a_{mn}\end{pmatrix}$

$(W^\mathrm{T}W)^{-1}W^\mathrm{T}W=I_{mn}(m\neq n\land m>n)$

この時の$(W^\mathrm{T}W)^{-1}W^\mathrm{T}$を、Left inverseと言います。